|
Abstract:
|
Relativisti6ka hidromehanika je po6ela da se razvija 1914.
godine; kada je Ajatajn [1] formulisao izraz za tenzor energije
relativisti6kog idealnog fluida i izveo njegove diferencijalne
dna6ine kretanja,•ograni6iv6i se pri tome na adijabatska strujanja,
kada za fluid vazi karakteristi6na jedna6ina koja vezuje pritisak
i gustinu.
Jednaine kretanja takvog fluida ispitivao je 1924. godine
Ajzenhart (Eisenhart) [2]. On je pokaZao da je, .kada se radio adj.•
jabatskom strujanju idealnog fluida, mogu6e prona6i. metriku kola
je konformna metrici'prostor-vremena, u odnosu na koju strujne:iinije
fluida predstavljaju geodezijske linije. Pri tome je utvrdio
i oblik skalarne funkcije pomo6u koje se pomenuta konformna metrika
uvodi
To su, medjutim, bili samo pojedina6ni, iako veoma zna6aj-.
ni rezultati iz oblasti relativisti6ke mehanike fluida.
Tek 1937. godine pojavljuje se•prvi rad.koji sistematski.izlaZe
relativisti6ku teoriju-idealnog•fluidapo uzoru na odgovaraju,
6u klasi6nu teoriju. To je ops6irni Singov.( . L. Synge) rad nRela-r
tivisti6ka hidrodinamika" [3]. U njemu actor pre svega izlaze ono
to je do tada o relativisti6kom idealnom fluidu bilo poznato, Tret7
postavljajuoi kao i njegovi prethodnici da za fluid van.. karakteri-
Virtual Library of Faculty of Mathematics - University of Belgrade
elibrary.matf.bg.ac.rs
stiena jodnacina koja vezuje sopotveni pritioak i sopstvenu'guStinu.
on prihvata od Ajzenharta skalarnu funkciju pomo6u koje se
. strujne linije idealnogfluida preslikavaju na geodezijske linije
jednog prostora oija je metrika konformna metrici prostor-vremena,
i pomoCu nje uvodi svoju funkciju; tzv. funkciju-indeksl ) , koja u
relativistiCkoj hidrodinamici igra veoma vaInu ulogu.
Pored toga, Sing je u• svome radu uveo i 6itav niz novih
pojmova: definisao je kinemati6ku i'dinami6ku cirkulaciju, uveo
pojam.kinemati6kog i dinamiekog tenzora vrtlolenja, kinemati6kog
dinamiCkog vektor-vrtloga, i definisao je i ispitivao bezvrtloZno
strujanje. Izvestan broj definicija iz ()yoga' rada je docnije pretrpeo
izmene, pa se 6ak neki pojmovi definisani u njemu i ne pomi-
.
nju u docnijim radovima, kako Singovim tako i ostalih autora, jer
uu pokazalo da 110 predutavijaju relativiutiaa uop6tonja
odgovarajuaih klasi6nih pojmova: Tako, recimo, udanaSnjiM radovima
ne molemo najoi . na Singovu kinemati6ku'cirkulaciju; kao izraz
koji predstavlja relativistieko uopftenje klasi6nog pojma cirkulacije
vektora brzine prihvadena je samo njegova dinami6ka cirkulacija,
pod imenom cirkulacije vektora toka. Ipak, ovaj Singov
rad predstavlja zna6ajan doprinos razvoju relativisti6ke teorije
fluida, buduai da je posluZio kao osnovica na kojoj su docniji autori,
ukljusoujuOi i samoga Singa4 gradili dalje to teoriju.
1) Funkcija-indeks koju Sing uvodi, i koju tako naziva zbog njene
analogije sa klasi6nim indeksom prelamanja.date transparentne
sredine, ne razlikuje se bitno od pomenute AjzenhartoVe funkci -•
je: samo iz formalnih razloga, umesto da koristi . Ajzenhartovu
funkciju qq=
ft. 41i1..
leNtil- (gde je ft/ sopstveni pritisak:fluida, a S
njegova sopstvena gustina), Sing kao funkciju-indeks defini..6e
(f,)=exp(A(p4). U svojim radovima Lihnerovi6 prihvata Singovu
funkciju i naziva je indeks fluida.
Virtual Library of Faculty of Mathematics - University of Belgrade
elibrary.matf.bg.ac.rs
-3_
Posle izvesne praznine u literaturi koju je doneo drugi sve-.
tski rat, krajem 6etrdesetih, a zatim.pedesetih i 6ezdesetih godina,
pojavljuje se atav niz.veoma zna6ajnih radova iz ove oblasti.
PomenuCemo; pre svega, Taubove. (A. H. Taub) radove [4],[5] i [6]
Koristeei Ekartove (C. Eckart) [7] ideje.o relativisti6koj -termodinamici
koje prenosi iz specijalne u .op6tu teoriju relativnosti,
Taub se ne ogranieava na adijabatska i izotermi6ka strujanja, pri
kojima za fluid vaZi karakteristi6na jednaina kCja vezuje sopstveni
pritisak i sopstvenu gustinu, veo posmatra opgiti slu6aj, kada
su dve termodinamifte Veli6ine nezavisno 'promenllive. U svojim ra-
___ . _
doVima on, izmedju ostalog, fotmulibe i jedan nov oblik tenzora
energije relativisti6kog idealnog fluida. To je oblik u kome se
unutra-6nja energija pojaVljuje eksplicitno, aokoji je.veoma pogodan
za rad kada uz diferencijalne jedna6ine kretanja• fluida . i uz
jedna_inu kohtinuiteta treba, pored .karakteristione jednaane, koristiti
i druge termodinami6ke veze.
Uporedo sa Taubovim radovima, u literaturi iz toga perioda
nailazimo na niz radova A. LihneroviOa. (A. Lichnerowilpz) [8],[93
i njegovih u6enika. U njima autori uzimaju u obzir pojave provodjenja
toplote i elektriciteta kroz idealnu fluidnu sredinu, a takodje
posmatraju naelektrisani iii namagnetisani idealni fluid..
Tenzor energije koji nalazimo u.njihovim radovima dopunjen je 61anovima
koji se odnose na pojave koje smo pomenuli. Veoma znaajno
mesto u tim radovima zauzima i Kogijey problem_koji,se postavlja i
ispituje u razli6itim slu6ajevima_materijalnih.sredina.
Najzad, A. Lihnerovic je prvi koji . je u relativisti6koj teoriji
uzeo u obzir unutra6nje trenje, koje postoji izmedju 6estica
fluida pri njihovom relativnom pomeranju. Po6to je postavio izraz
za tenzor energije relativistiekog viskoznog,fluida, on je, pola7
zea oduslova konzervativnosti toga tenzora, izveo i'diferencijalne
jednaane kretanja takve . materijalne sredine i.ispitivao nje-
Virtual Library of Faculty of Mathematics - University of Belgrade
elibrary.matf.bg.ac.rs
no bezvrtloZno strujanje.
Relativistieki viskozni fluid koji je uz to i naelektrisan .
u svojoj studiji [10] Pion (G. Pichon). Tenzor vis- Prou6avao je
koznosti koji nalazimo u njegovom radu ne poklapa se sa izrazom
koji za taj tenzor daje Lihnerovie. U odeljku 1.1 ovoga rada govorieemo
detaljnije o tome zbog 6ega te izrazi za tenzor viskoznosti
kod dvojice pomenutih autora razlikuju.
Primena varijacionih principa u relativistiekoj mehanici
fluida takodje je razmatrana od nekoliko autora o ko.jima smo ovde
govorili. Koliko nam je poznato, ve6 pomenuti Ajzenhartov rad [2]
je prvi rad u kome su diferencijalne jedna6ine kretanja relativistiekog
idealnog fluida za koji vaIi adijabatska jednanna propene
staftja izvedene primenom jednog varijacionog principa. Potpunu.
formalnu analogiju toga principa sa Fermaovim principom geometrijske
optike istakao je u svome radu [3] Sing.
Godine 1954. je Taub [11] formulisao varijacioni princip
koji dovodi do jedna6ina polja opfte relativnosti i do jednanna
kretanja relativistincog idealnog fluida. Najzad, jedan interesan7
tan prilaz tome pitanju razmatrao je 1970. godine Bernard Suc (Bernard
G. Schutz, Jr.) [12] v drle6i se i dalje granica idealnog
fluida.
Iz ovog kratkog istorijskOg prikaza razvoja relativistieke
hidromehanike mote se zapaziti da.je u literaturi uglavnom prow:-
eavan relativistieki.idealni fluid; dok upadljivo mali broj radova
uzima u - obzir pojavu viskozhosti. Osim dva rada, koje smo ovde
citirali, u 6itavoj relativisti6koj:literaturi koja nam je bila •
'dostupna nismo naigli ni na jedan drugi rad u kome se razmatra unutragnje
trenje izmedju 6estica .fluida pri njihovom relativnom pomeranju.
Pri tome se, kao gto smo Ve64stakli, izrazi za tenzor viskoznosti
u dva pomenuta rada razlikuju, izvodjenju jedna6i-
,•a kretanja posmatrane sredine autori polaze od uslova konzervativ-
Virtual Library of Faculty of Mathematics - University of Belgrade
elibrary.matf.bg.ac.rs
nosti tenzora energije, to zna6i da koriste put kojiAe u rela- .
tivisti6koj teoriji fluida uobi6ajen..
U ovome radu eemo posmatrati relativistieki viskozni flu- .
, sa ciljem da pri izvodjenju diferencijalnih id jednaeina kretanja
takve materijalne sredine primenimo tzv. Pfafovu metodu.
Primeni Pfafove metode u mehanici i teorijskoj fizici po-.
ove6en je veliki broj radova objavljenih u Beogradu krajem•eetrdesetih
i pedesetih.godina.
Ovde 6emo pomenuti pre svega radove A. Bilimovi6a [133 i
[143. Baveoi se pitanjem utvrdjivanja fenomenolOgke osnove za
Pfafovu metodu, on je u svojoj monografiji [14] f.ormulisao jedan
op'Sti fenomenolaki diferencijalni'princip: Taj princip analizi-
ra st. anje posmatranog sistema i uzroke koji izazivaju promenu toga
stanja, i na osnovu to analize sastavija jedan matemati6ki izraz
u obliku Pfafove forme, iz koga se dobivaju diferencijalne je7
dna6ine kretanja sistema kao Pfafove jedna6ine. On'je zatim primenio
Pfafovu metodu na niz problema teorijske mehanike, nebeske
•
mehanike i geometrijske optike . C14].
Pri izvodjenju diferencijalnih jedna6ina kretanja krutog
Lela, zatim osnovnih diferencijalnih jednaeina hidrodinamike i mehanike
elasti6nih tela, ovu metodu je koristio T..Andjelie [153,
[16], [173. Time je on ukazao na op6tu primenljivost Pfafove me- .
tole u dinamici kako krutih tela, tako i deformabilnih sredina.
Najzad, u svome radu [18] Dj.. Niu6icki je pokazao da se Pfafova
metoda mote koristiti i u teorijskoj fizici. On je izvr6io .
generalizaciju Pfafovog izraza i Pfafovih jedna6ina, dokazao Aa i
za takav Pfafov izraz i jedna6ine vane sli6ne osobirie kao i za
.6an 'Pfafov izraz jednaCine, a.zatim tako generalisana Pfafovu
todu primenio u razli6itimoblastima teorijske fizike - termodina- .
mici, elektromagnetizmu i'kvantnoj mehanici. .
Virtual Library of Faculty of Mathematics - University of Belgrade
elibrary.matf.bg.ac.rs
Ovaj rad smo podelili na dve glave.
U prvoj glavi nam je bio cilj da dodjemo do oblika za tenzor
energije relativistiOkog viskoznog fluida. Po!ho .smo u prvom
odeljku objasnili 6ta•nas je navelo da se na tome pitanju, kojc
je u literaturi ve6 re6avano, ipak zadrZimo, u drugom odeljku raspravljamo
koji oblik tenzora brzine deformacije i tenzora vrtlolenja
treba usvojiti u relativistiftoj teoriji. Pri tome smo kao osnovicu
u na s6im razmatranjima uzeli Zahtev da rezultati do kojih
dolazimo moraju biti u skiadu sa postojedom Bornovom definicijom
krutosti u opkoj teoriji relativnosti, a takodje i u skiadu sa
rezultatima rada [193 o vrstama kretanja Bornovog relativisti6ki
krutog tela.
U posiednjem, tre6em odeljku prve glave, dolazimo do relativistiOkog
tenzora.viskoznosti polaze6i od zahteva da se njegove
prostorne komponente u odnosu na sopstveni koordinatni sistem svo- .
de na komponente odgovaraju6eg klasiOnog tenzora, dok mu ostale
komponente u odnOsu na taj sistem moraju biti .jednake null.
Osnovnom pitanju koje u ovom radu razmatramo pitanju primene
Pfafove metode u relativistiOkoj mehanici fluida - posve6ena .
je druga glava rada.
Posle kratkog izlaganja o tome kako je nastala tzv. Pfafova
metoda u mehanici, i 6ta predstavlja njenu sadrZinu, u drugom,
centralnom odeljku toga dela rada postavlja se izraz za Pfafovu
formu koja odgovara posmatranom materijalnom sistemu. Iz toga izraza
zatim, pOstupkbm koji Pfafova metoda nalaZe, izvode diferencijalne
jednaOine kretanja relativi.stiOkog viskoznog fluida.
Dobivene jednaOine, c,je predstavljaju relativistiOko uop6tenje
Navije-Stoksovih jedna6ina . klasjOne hidrodinamike, razlikuju se od.
odgovaraju6ih jednaina do . kojih jedo6ao Lihnerovi6 [83; to je
razumljivo ako se ima u vidu da se tenzor viskoznosti koji je
formulisac ne poklapa sa izrazom koji 'sm.() u ovom radu za taj ten-
Virtual Library of Faculty of Mathematics - University of Belgrade
elibrary.matf.bg.ac.rs
zor
U tre6em, poslednjem odeljku druge glave, ogranioili smo se
na slaaj relativistiftog idealnog fluida za koji van adijabatska •
jedna6ina promene stanja. Pokazali smo da se u tome slu6aju Pfafov
izraz za deli6 fluidne sredine mote obrazovati na veoma jednostavan
naCin, bez potreba da se trai relativisti6ko uop6tenje za.klasi6ni
izraz koji predstavlja rad rezultuju6e sile pritiska kojom.
okolina na uoceni delic deluje, prilikom njegovog pomeranja. od po-
6etnog do krajnjeg polo2aja. Pri tome fluidnu sredinu moramo posmatrati
u prottoru 6ija je.metrika konformna metrici prostor-vremena,
a koja se uvodi pomo6u indeksa fluida tako. da strujne linije'.
fluida predstavljaju geodezijske linije toga prostora.
Najzad, zakljusaujemo da bi sa taj.rezultat pod izvesnim uslovima
mogao primeniti i u slu6aju ralativisti6kog . viskoznog fluida. |