|
Zusammenfassung:
|
Jedan od važnih i osnovnih ciljeva nauke je da se među događajima i pojavama utvrde
uzročno-posledične veze. Šta se podrazumeva pod pojmom uzročnosti i kako se ona
može meriti bila je tema mnogih rasprava. U ekonomiji, Grendžerova uzročnost
(C. nj. Granger, 1969) je veoma dobro poznat koncept i jedna od najprimenjivanijih
metoda u istraživanjima. Definicija uzročnosti u smislu Grendžera zasniva se na ideji
da sadašnjost ili budućnost ne mogu uzrokovati prošlost. Udrugim naučnim oblastima
se, takođe, dugo raspravljalo o pojmu uzročnosti. Međutim, do bitnijeg napretka dolazi
tek poslednjih dekada.
Danas, pojam uzročnosti ima široku primenu u fizici, biološkim i sociološkim
naukama, istoriji, medicini posebno u epidemiologiji, ekonomiji i dr.
Predmetistraživanjaove doktorske disertacije je statistička teorija uzročnostii
njena primena na slaba rešenja stohastičkih diferencijalnih jednačina i martingalnu
reprezentaciju. Pokazuje se da je ovaj koncept ekvivalentan sa slabom jedinstvenošću
slabih rešenja stohastičkih diferencijalnih jednačina i ekstremnim rešenjima martingalnog
problema. Na ovaj koncept se mogu primeniti i vremena zaustavljanja, pa se u
skladu s tim dokazuje i ekvivalencija sa ekstremnim rešenjem martingalnog problema
za zaustavljene procese, kao i sa lokalno jedinstvenim slabim lokalnim rešenjima.
Takođe, koncept uzročnosti se može primeniti i u Teoriji martingala. Naime,
ovaj koncept se može dovesti u vezu sa očuvanjem svojstva martingalnosti, ortogonalnim
martingalima, stabilnim potprostorima, kao i martingalnim reprezentacijama, koje
imaju primenu, naročito u finansijskoj matematici.
U glavi 1 dati su osnovni pojmovi iz teorije verovatnoća, definicija slučajnog
procesa i pregled njihovih osnovnih osobina. Takođe, ovde su date definicije martingala
i semimartingala kao i stohastička integracija u odnosu na semimartingale.
U ovoj glavi su date i stohastičke diferencijalne jednačine sa semimartingalima
kao i njihova stroga rešenja, dok će o slabim rešenjima više biti reči u
glavi 3. Daje se i definicija uzročnosti, koja se zasniva na Grendžerovoj uzročnosti,
koju uvodi Mikland (P. A. Mykland š32]), a kasnije njeno uopštenje daje lj. Petrović
(š34, 36, 37, 38, 39, 40, 42]). Takođe, data definicija uzročnosti je sa fiksnog vremena
proširena na vremena zaustavljanja. Na kraju su dati neki osnovni rezultati koji se
odnose na navedene pojmove uzročnosti.
U glavi 2 je prikazano kako se koncept statističke uzročnosti može primeniti u
Teoriji martingala. Za svojstvo martingalnosti, koje je vezano za filtracije, dokazano je da je očuvanje tog svojstva, kada σ- algebra informacija raste, direktno vezano za koncept
uzročnosti. Takođe, može se uspostaviti ekvivalencija između ortogonalnosti
martingala i koncepta uzročnosti (64). Isto se može dokazati i za lokalne martingale
i za zaustavljene lokalne martingale. Koncept uzročnosti se može povezati i
sa stabilnim potprostorima koji sadrže zdesna neprekidne modifikacije martingala
oblikaMt = P(A j Ft) (videti 44).
U glavi 3 data su definisana slaba rešenja različitih tipova diferencijalnih
jednačina koje su generisane semimartingalima. Naime, dokazano je da je koncept
uzročnosti ekvivalentan sa slabom jedinstvenošću slabih rešenja (39). Takođe, na
slaba rešenja su primenjena i vremena zaustavljanja, pa je proučavana i veza između
lokalne jedinstvenosti slabih lokalnih rešenja i koncepta uzročnosti sa vremenima
zaustavljanja. Drugačiji pristup rešavanju stohastičkih diferencijalnih jednačina, tj.
martingalniproblemjetakođerazmatranidokazanajeekvivalencijaizmeđu ekstremnog
rešenja martingalnog problema i uzročnosti (41).
Uglavi 4 je razmatrana veza između koncepta uzročnosti i martingalne reprezentacije
u odnosu na različite filtracije sa posebnim osvrtom na već poznate rezultate.
Pokazano je da se dati rezultati mogu primeniti na slaba rešenja stohastičkih diferencijalnih
jednačina generisanih semimartingalima, kao i na martingalni problem
koji je pridružen datoj jednačini.
Delovi disertacije 2.2, 2.3, 2.4, 3.1, 3.2, 3.4, 3.6 sadrže nove rezultate koji su
objavljeni u radovima 39, 41, 44, 64. |